پاسخ فعالیت صفحه 28 ریاضی و آمار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ حل معادله درجه دوم با فرمول کلی صفحه 28 ریاضی دهم انسانی سلام به شما دانش‌آموزان! این فعالیت اولین قدم ما برای استفاده از **فرمول کلی ریشه‌های معادله درجه دوم** است. این فرمول به ما کمک می‌کند تا هر معادله‌ی $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ را حل کنیم. **فرمول کلی:** $\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$ عبارت زیر رادیکال، یعنی $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$، **دلتا یا مُمَیِّز** نامیده می‌شود و تعیین‌کننده‌ی تعداد جواب‌های معادله است. ### گام ۱: تعیین ضرایب $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ معادله: $\mathbf{x^2 - 3x + 2 = 0}$ * $\mathbf{a = 1}$ (ضریب $\mathbf{x^2}$) * $\mathbf{b = -3}$ (ضریب $\mathbf{x}$) * $\mathbf{c = 2}$ (عدد ثابت) ### گام ۲: محاسبه ممیز ($\mathbf{\Delta}$) $$\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$$ $$\mathbf{\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1}$$ * **تفسیر:** چون $\mathbf{\Delta = 1 > 0}$ است، معادله **دو ریشه‌ی حقیقی و متمایز** دارد. ### گام ۳: استفاده از فرمول کلی برای یافتن ریشه‌ها $$\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$$ $$\mathbf{x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 \pm 1}{2}}$$ 1. **ریشه‌ی اول (با علامت مثبت):** $\mathbf{x_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2}$ 2. **ریشه‌ی دوم (با علامت منفی):** $\mathbf{x_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1}$ **پاسخ نهایی:** جواب‌های معادله $\mathbf{x = 2}$ یا $\mathbf{x = 1}$ هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ حل معادله درجه دوم با فرمول کلی صفحه 28 ریاضی دهم انسانی در این فعالیت، ابتدا باید معادله را به **فرم استاندارد** $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ مرتب کنیم و سپس مراحل قبل را تکرار کنیم. ### گام ۱: تعیین ضرایب $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ معادله: $\mathbf{4x^2 - 7x + 2 = 0}$ (با مرتب‌سازی) * $\mathbf{a = 4}$ (ضریب $\mathbf{x^2}$) * $\mathbf{b = -7}$ (ضریب $\mathbf{x}$) * $\mathbf{c = 2}$ (عدد ثابت) **پر کردن جاهای خالی:** $\mathbf{a = \mathbf{4}}$، $\mathbf{b = \mathbf{-7}}$، $\mathbf{c = \mathbf{2}}$ ### گام ۲: محاسبه ممیز ($\mathbf{\Delta}$) $$\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$$ $$\mathbf{\Delta = (-7)^2 - 4(4)(2) = 49 - 32 = 17}$$ **توجه:** در تصویر $\mathbf{\Delta = 49 - 4\times 4 \times (-2) = 81}$ آمده است. این نشان می‌دهد که احتمالاً $\mathbf{c}$ در سؤال اصلی $\mathbf{-2}$ بوده است. برای مطابقت با پاسخ کتاب، فرض می‌کنیم $\mathbf{c = -2}$ است. **با فرض $\mathbf{c = -2}$ (مطابق تصویر):** $$\mathbf{\Delta = (-7)^2 - 4(4)(-2) = 49 + 32 = 81}$$ * **تفسیر:** چون $\mathbf{\Delta = 81 > 0}$ است، معادله **دو ریشه‌ی حقیقی و متمایز** دارد. ### گام ۳: استفاده از فرمول کلی برای یافتن ریشه‌ها $$\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$$ $$\mathbf{x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2(4)} = \frac{7 \pm 9}{8}}$$ 1. **ریشه‌ی اول (با علامت مثبت):** $\mathbf{x_1 = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2}$ 2. **ریشه‌ی دوم (با علامت منفی):** $\mathbf{x_2 = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}}$ $$\mathbf{x = \frac{\mathbf{7 \pm 9}}{8} \Rightarrow x = \mathbf{2} \text{ یا } x = \mathbf{-\frac{1}{4}}}$$ **نکته مهم:** اگر از معادله اصلی $\mathbf{2 - 7x + 4x^2 = 0}$ استفاده می‌کردیم، $\mathbf{\Delta = 17}$ بود و ریشه‌ها $\mathbf{\frac{7 \pm \sqrt{17}}{8}}$ می‌شدند. برای هماهنگی با تصویر، از $\mathbf{\Delta = 81}$ استفاده کردیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ حل معادله درجه دوم با فرمول کلی صفحه 28 ریاضی دهم انسانی در این فعالیت، ما به سراغ حالتی می‌رویم که معادله درجه دوم **هیچ ریشه‌ی حقیقی** ندارد. این حالت با منفی شدن مقدار **ممیز ($\mathbf{\Delta}$)** مشخص می‌شود. ### گام ۱: تعیین ضرایب $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ معادله: $\mathbf{3x^2 + x + 7 = 0}$ * $\mathbf{a = 3}$ * $\mathbf{b = 1}$ * $\mathbf{c = 7}$ ### گام ۲: محاسبه ممیز ($\mathbf{\Delta}$) $$\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$$ $$\mathbf{\Delta = (1)^2 - 4(3)(7)}$$ $$\mathbf{\Delta = 1 - 84 = -83}$$ **پر کردن جای خالی:** $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac \Rightarrow \Delta = \mathbf{-83}}$ ### گام ۳: تفسیر نتیجه * **تفسیر:** چون $\mathbf{\Delta = -83 < 0}$ است، **جذر $\mathbf{\Delta}$ عددی حقیقی نیست** ($athbf{\sqrt{-83}}$ در $\mathbf{R}$ تعریف نشده است). **پاسخ نهایی:** بنابراین معادله $\mathbf{3x^2 + x + 7 = 0}$ **ریشه‌ی حقیقی ندارد**.